Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.
Aunque parezca lógico, es una paradoja porque la situación planteada contradice cualquier experiencia cotidiana: todo el mundo sabe que un corredor veloz alcanzará a uno lento aunque le dé ventaja.
Si supusiéramos (para simplificar) que Aquiles es solo diez veces más veloz que la tortuga y que la ventaja otorgada a esta última es de 10 metros, entonces, según argumenta Zenón, cuando Aquiles haya recorrido estos primeros 10 metros iniciales la tortuga ya estará más lejos (estará un metro más allá, es decir habrá recorrido un metro) y cuando Aquiles haya recorrido este nuevo metro para alcanzarla, la tortuga estará nuevamente más lejos (10 centímetros más). Aquiles continúa pero al llegar allí, la tortuga estará otro centímetro más lejos (es decir en los 11 metros y 11 centímetros) así sucesivamente.
Desde el punto de vista matemático, el concepto que subyace a la paradoja es el de serie, más precisamente, la existencia de las series convergentes. Lo que aplica a la situación que plantea la paradoja es que la suma de infinitos términos puede ser finita. Si se suman los segmentos recorridos por Aquiles se obtiene una serie geométrica convergente:
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